Volatilitet er det vanligste risikobilledet, men det kommer i flere smaker. I en tidligere artikkel viste vi hvordan du kan beregne enkel historisk volatilitet. (For å lese denne artikkelen, se Bruke volatilitet for å måle fremtidig risiko .) I denne artikkelen vil vi forbedre den enkle volatiliteten og diskutere eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt (EWMA).

Historisk Vs. Implisitt volatilitet

Først, la oss sette denne metriske inn i litt perspektiv. Det er to brede tilnærminger: historisk og underforstått (eller implisitt) volatilitet. Den historiske tilnærmingen antar at fortid er prologue; vi måler historie i håp om at det er forutsigbart. Implisitt volatilitet, derimot, ignorerer historien; det løser for volatiliteten implisitt av markedsprisene. Det håper at markedet vet best, og at markedsprisen inneholder, selv om det implisitt er, et konsensusoverslag over volatiliteten.

Hvis vi fokuserer på bare de tre historiske tilnærmingene (til venstre over), har de to trinn til felles:

1. Beregn serien med periodisk avkastning
2. Påfør vektingsplan >

Først beregner vi periodisk avkastning. Det er vanligvis en serie av daglige avkastninger der hver avkastning uttrykkes i kontinuerlig sammensatte vilkår. For hver dag tar vi den naturlige loggen av forholdet mellom aksjekursene (i. E., Pris i dag fordelt på pris i går, og så videre).

Dette gir en rekke daglige avkastninger, fra deg

i _{til u} i-m _{, avhengig av hvor mange dager (m = dager) vi måler.} Det får oss til det andre trinnet: Det er her de tre tilnærmingene er forskjellige. I den forrige artikkelen viste vi at under enkle aksepterbare forenklinger er den enkle variansen gjennomsnittet av de kvadrerte avkastningene:

Legg merke til at dette summerer hver periodisk retur, og deler den summen med antall dager eller observasjoner (m). Så, det er egentlig bare et gjennomsnitt av den kvadratiske periodiske avkastningen. Sett på en annen måte, hver kvadret retur blir gitt like vekt. Så hvis alfa (a) er en vektningsfaktor (spesifikt a = 1 / m), ser en enkel varianse slik ut:

EWMA forbedrer seg på enkel variasjon

Svakheten i denne tilnærmingen er at alle returnerer tjene samme vekt. Gårsdagens (veldig nylige) avkastning har ingen større innflytelse på variansen enn forrige måneds retur. Dette problemet er løst ved å bruke det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA), der nyere avkastning har større vekt på variansen.
Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) introduserer lambda, som kalles utjevningsparameteren. Lambda må være mindre enn en. Under denne betingelsen, i stedet for likevekter, vektlegges hver kvadret retur med en multiplikator som følger:

For eksempel, RiskMetrics

TM ^{, _{et finansiell risikostyringsfirma, har en tendens til å bruke en lambda av 0.94 eller 94%. I dette tilfellet vektlegges den første (siste) kvadratiske periodiske avkastningen av (1-0, 94) (.94)}} 0 ^{= 6%. Den neste kvadratiske retur er bare en lambda-multipel av den tidligere vekten; i dette tilfellet 6% multiplisert med 94% = 5,64%. Og den tredje forrige dagens vekt er lik (1-0. 94) (0 94)} 2 ^{= 5. 30%.} Det er betydningen av "eksponentiell" i EWMA: hver vekt er en konstant multiplikator (dvs. lambda, som må være mindre enn en) av den forrige dagens vekt. Dette sikrer en variasjon som er vektet eller forspent mot nyere data. (For å lære mer, sjekk ut Excel-regnearket for Googles volatilitet.) Forskjellen mellom bare volatilitet og EWMA for Google er vist nedenfor.

Enkel volatilitet veier effektivt hver periodisk avkastning med 0. 196% som vist i kolonne O (vi hadde to års daglig aksjekursdata. Det er 509 daglige avkastninger og 1/509 = 0,196%). Men merk at kolonne P tildeler en vekt på 6%, deretter 5. 64%, deretter 5. 3% og så videre. Det er den eneste forskjellen mellom enkel varians og EWMA.

Husk: Etter at vi summerer hele serien (i kolonne Q) har vi variansen, som er kvadratet av standardavviket. Hvis vi vil ha volatilitet, må vi huske å ta kvadratroten av den variansen.

Hva er forskjellen i den daglige volatiliteten mellom variansen og EWMA i Googles tilfelle? Det er betydelig: Den enkle variansen ga oss en daglig volatilitet på 2,4%, men EWMA ga en daglig volatilitet på bare 1, 4% (se regnearket for detaljer). Tilsynelatende slo Googles volatilitet seg mer nylig; Derfor kan en enkel varianse være kunstig høy.

Dagens variasjon er en funksjon av tidligere dags variasjon

Du vil legge merke til at vi trengte å beregne en lang rekke eksponentielt avtagende vekter. Vi vil ikke gjøre matematikken her, men en av de beste egenskapene til EWMA er at hele serien reduserer til en rekursiv formel:

Rekursiv betyr at dagens variansreferanser (dvs. er en funksjon av tidligere dags varians) . Du kan også finne denne formelen i regnearket, og det gir nøyaktig samme resultat som longhand-beregningen! Det står: dagens varians (under EWMA) tilsvarer gårsdagens varianse (veid av lambda) pluss gårsdagens kvadreret retur (veid av en minus lambda). Legg merke til hvordan vi bare legger til to termer sammen: gårdagens vektede varians og gårdens vektede, kvadreret retur.

Likevel er lambda vår utjevningsparameter. En høyere lambda (f. Eks. RiskMetrics 94%) indikerer tregere forfall i serien - relativt sett vil vi ha flere datapunkter i serien, og de kommer til å "falle av" sakte. På den annen side, hvis vi reduserer lambda, indikerer vi høyere forfall: vikene faller av raskere, og som et direkte resultat av det raske forfallet blir færre datapunkter benyttet. (I regnearket er lambda en inngang, slik at du kan eksperimentere med følsomheten).

Sammendrag

Volatilitet er den øyeblikkelige standardavviket for en aksje og den vanligste risikometrisk.Det er også kvadratroten av variansen. Vi kan måle variansen historisk eller implisitt (implisitt volatilitet). Når man måler historisk, er den enkleste metoden enkel varians. Men svakheten med enkel varians er alle returene får samme vekt. Så vi står overfor en klassisk avvei: vi vil alltid ha mer data, men jo flere data vi har jo mer vår beregning er fortynnet av fjernt (mindre relevant) data. Det eksponentielt vektede glidende gjennomsnittet (EWMA) forbedres på enkel varians ved å tildele vekt til periodisk retur. Ved å gjøre dette kan vi begge bruke en stor utvalgsstørrelse, men gi også større vekt til nyere avkastninger.