Det er ganske utfordrende å bli enige om nøyaktig prising av enhver omsettelig eiendel, selv i dag. Derfor fortsetter aksjekursene å forandre seg. I virkeligheten endrer selskapet ikke sin verdsettelse på en daglig basis, men aksjekursen og verdsettelsen endres hvert sekund. Dette viser det vanskelig å nå enighet om dagens pris for enhver omsettelig eiendel, noe som fører til arbitrasjemuligheter. Imidlertid er disse arbitrage mulighetene veldig kortvarige.

AD:

Alt koker ned til dagens verdsettelse - hva er riktig nåværende pris i dag for en forventet fremtidig utbetaling?

På et konkurransedyktig marked, for å unngå arbitrasjemuligheter, må eiendeler med identiske utbetalingsstrukturer ha samme pris. Verdsettelse av opsjoner har vært en utfordrende oppgave, og høye prisforskjeller observeres som fører til arbitrasjemuligheter. Black-Scholes er fortsatt en av de mest populære modellene som brukes til prisalternativer, men har sine egne begrensninger. (For ytterligere informasjon, se: Valgprising ). Binomial opsjonsprisemodell er en annen populær metode som brukes til prisalternativer. Denne artikkelen diskuterer noen omfattende, trinnvise eksempler og forklarer det underliggende risikobrevne konseptet ved bruk av denne modellen. (For relatert lesing, se: Bryte ned binomialmodellen for å verdsette et alternativ ).

AD:

Denne artikkelen forutsetter at brukeren er kjent med alternativer og relaterte begreper og vilkår.

Anta at det finnes et anropsalternativ på en bestemt aksje hvis nåværende markedspris er $ 100. ATM-alternativet har en pris på $ 100 med tiden til utløpet av ett år. Det er to handelsmenn, Peter og Paul, som begge er enige om at aksjekursen enten vil stige til $ 110 eller falle til $ 90 på ett års tid. De er begge enige om forventet prisnivå i en gitt tidsramme på ett år, men er uenige om sannsynligheten for oppflyttingen (og nedoverflyttingen). Peter mener at sannsynligheten for aksjekursen til $ 110 er 60%, mens Paul mener at det er 40%.

AD:

Basert på ovenstående, hvem vil være villig til å betale mer pris for anropsalternativet?

Muligens Peter, da han forventer høy sannsynlighet for oppflyttingen.

La oss se beregningene for å verifisere og forstå dette. De to eiendelene som verdsettelsen avhenger av er opsjonsopsjonen og den underliggende aksjen. Det er en avtale mellom deltakerne om at den underliggende aksjekursen kan gå fra nåværende $ 100 til enten $ 110 eller $ 90 på ett års tid, og det er ingen andre prisbevegelser mulig.

I en arbitragefri verden, hvis vi må opprette en portefølje bestående av disse to eiendelene (opsjonsopsjon og underliggende aksje) slik at uavhengig av hvor den underliggende prisen går ($ 110 eller $ 90), er netto avkastning på porteføljen alltid forblir det samme.Anta at vi kjøper "d" -andeler av underliggende og korte ett anropsalternativ for å opprette denne porteføljen.

Hvis prisen går til $ 110, vil våre aksjer være verdt $ 110 * d, og vi vil miste $ 10 på avtale med kort betaling. Netto verdien av porteføljen vår vil være (110d - 10).

Hvis prisen går ned til $ 90, vil våre aksjer være verdt $ 90 * d, og opsjonen utløper verdiløs. Netto verdien av porteføljen vår vil være (90d).

Hvis vi ønsker at verdien av porteføljen vår forblir den samme, uansett hvor den underliggende aksjekursen går, bør vår porteføljeverdi forbli den samme i begge tilfeller, i. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = ½

i. e. hvis vi kjøper en halv aksje (forutsatt at fraksjonelle kjøp er mulig), vil vi klare å opprette en portefølje slik at verdien sin forblir den samme i begge mulige stater innenfor en gitt tidsramme på ett år. (punkt 1)

Denne porteføljeværdien, angitt med (90d) eller (110d -10) = 45, er ett år nedover linjen. For å beregne nåverdien, kan den diskonteres med risikofri avkastning (antas 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 år) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Presentverdi av porteføljen

Siden porteføljen består i dag av ½ andel av underliggende aksjer med markedspris $ 100) og 1 kort samtale, bør den være lik nåverdien beregnet ovenfor i. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * Anropspris = 42. 85

=> Anropspris = $ 7. 14 i. e. Anropsprisen fra i dag.

Siden dette er basert på forutsetningen om at porteføljeverdien forblir den samme uavhengig av hvilken vei den underliggende prisen går (punkt 1 ovenfor), er sannsynligheten for å flytte opp eller nedoverflytting ingen rolle her. Porteføljen forblir risikofri, uavhengig av underliggende prisbevegelser.

I begge tilfeller (antatt å være oppflyttet til $ 110 og nedover til $ 90), er porteføljen vår nøytral til risikoen og tjener risikofri avkastning.

Derfor vil begge handlerne, Peter og Paul, være villige til å betale den samme $ 7. 14 for dette anropsalternativet, uavhengig av sine egne forskjellige oppfatninger av sannsynlighetene for oppdrag (60% og 40%). Deres individuelt oppfattede sannsynligheter spiller ingen rolle i opsjonsvurdering, sett fra eksempelet ovenfor.

Hvis det antas at de enkelte sannsynlighetene er viktige, ville det ha eksistert arbitrasjemuligheter. I virkelige verden finnes slike arbitrasjonsmuligheter med mindre prisforskjeller og forsvinner på kort sikt.

Men hvor er den store volatiliteten i alle disse beregningene, noe som er en viktig (og mest sensitiv) faktor som påvirker opsjonsprisene?

Volatiliteten er allerede inkludert av arten av problemdefinisjonen. Husk at vi antar to (og bare to - og dermed navnet "binomial") tilstandene av prisnivåer ($ 110 og $ 90). Volatilitet er implisitt i denne antagelsen og dermed automatisk inkludert - 10% hverken (i dette eksemplet).

La oss nå gjøre en sunnhetssjekk for å se om vår tilnærming er riktig og sammenhengende med den vanlige Black-Scholes-prisen. (Se: Black-Scholes Options Valuation Model ).

Her er skjermbilder av opsjonskalkulatorresultater (OIC), som tett matcher vår beregnede verdi.

Dessverre er den virkelige verden ikke så enkel som "bare to stater". Det er flere prisnivåer som kan oppnås av aksjen til tiden for utløp.

Er det mulig å inkludere alle disse flere nivåene i vår binomial prismodell, som er begrenset til bare to nivåer? Ja, det er veldig mye mulig, og for å forstå det, la oss komme inn i noen enkle matematikk.

Noen mellomliggende beregningstrinn hoppes over for å holde det oppsummert og fokusert på resultater.

For å gå videre, la oss generalisere dette problemet og løsningen:

'X' er dagens markedspris på lager og 'X * u' og 'X * d' er fremtidige priser for opp og ned ' År senere. Faktoren 'u' vil være større enn 1 som den indikerer oppflytting og 'd' vil ligge mellom 0 og 1. For eksempel ovenfor, u = 1. 1 og d = 0. 9.

Utbetalingsalternativene for innløsningsopsjoner er 'P _opp ' og 'P _dn ' for opp- og nedoverflyt, når utløpet utløper.

Hvis vi bygger en portefølje av 's' aksjer kjøpt i dag og kort ett oppkjøpsalternativ, så etter tid 't':

Verdien av porteføljen ved oppflytting = s * X * u - P _opp

Verdien av porteføljen i tilfelle nedflytting = s * X * d - P _dn

For tilsvarende verdivurdering i begge tilfeller av prisbevegelse,

=> s * X * u - P < opp _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

opp _{- P} dn _{) / )) = nr. av aksjer til kjøp for risikofri portefølje} Den fremtidige verdien av porteføljen ved slutten av 't' årene vil være

I tilfelle oppflytting = s * X * u - P

opp _{= (P} opp _{- P} dn _{) / (X (ut)) * X * u - P} opp _{Nåverdien ovenfor kan fås ved å diskontere Den med risikofri avkastning:}

Dette bør samsvare med porteføljens beholdning av 's' aksjer til X-pris og kortnummerverdi 'c' i. e. dagens holdbarhet av (s * X - c) bør ligge til over. Løsning for c gir endelig c som:

HVIS VI SHORT CALL PREMIUM SKAL VÆRE TILFØRING TIL PORTFOLIO IKKE SUBTRAKTJON.

En annen måte å skrive den ovennevnte ligningen på er å omorganisere det som følger:

Ta q som

og deretter over ligningen blir

Omstilling av ligningen i forhold til "q" har gitt et nytt perspektiv.

"q" kan nå tolkes som sannsynligheten for oppreisen av underliggende (som "q" er knyttet til P

opp _{og "1-q" er assosiert med P} dn _{). Samlet sett representerer ovennevnte ligning dagens dagens pris i. e. den nedsatte verdien av utbetalingen ved utløpet.} Hvordan er denne sannsynligheten "q" forskjellig fra sannsynligheten for å flytte eller flytte underliggende?

Verdien av aksjekursen på tidspunktet t = q * X * u + (1-q) * X * d

Ved å erstatte verdien av q og omarrangere kommer aksjekursen på tidspunktet t til

i . e. i denne antatte verden av to stater, stiger aksjekursen med risikofri avkastning, i. e. akkurat som en risikofri eiendel og dermed forblir uavhengig av risiko.Alle investorer er likegyldige for risiko under denne modellen, og dette utgjør den risikobrevne modellen.

Sannsynlighet "q" og "(1-q)" er kjent som risikobrevne sannsynligheter, og verdsettelsesmetoden er kjent som risikobasert verdsettelsesmodell.

Eksemplet ovenfor har et viktig krav - fremtidig avkastningsstruktur er nødvendig med presisjon (nivå $ 110 og $ 90). I virkeligheten er slik klarhet om trinnbaserte prisnivåer ikke mulig; snarere prisen beveger seg tilfeldig og kan slå seg på flere nivåer.

La oss utvide eksemplet videre. Anta at to trinns prisnivåer er mulige. Vi vet det andre trinnets sluttutbetalinger, og vi må verdsette alternativet i dag (dvs. ved første trinn)

Ved å arbeide bakover, kan mellomliggende første trinns verdsettelse (ved t = 1) gjøres ved bruk av endelige utbetalinger i trinn to (t = 2), og ved bruk av disse beregnede første trinns verdivurdering (t = 1), kan dagens verdsettelse (t = 0) nås ved hjelp av de ovenfor angitte beregningene.

For å få opsjonspriser på nr. 2, utbetalinger på 4 og 5 blir brukt. For å få priser for nei. 3, utbetalinger på 5 og 6 brukes. Endelig brukes beregnede utbetalinger på 2 og 3 for å få priser på nei. 1.

Vær oppmerksom på at vårt eksempel antar den samme faktoren for oppover (og nedover) flytte i begge trinnene - u (og d) blir brukt på sammensatt måte.

Her er et fungerende eksempel med beregninger:

Anta et puteringsalternativ med strykpris $ 110 som for øyeblikket handler på $ 100 og utløper om ett år. Årlig risikofri rente er på 5%. Prisen forventes å øke med 20% og redusere 15% hvert halvår.

La oss strukturere problemet:

Her, u = 1. 2 og d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

ved hjelp av ovenfor utledede formel på

, får vi q = 0. 35802832

verdien av puteringsalternativet i punkt 2,

Ved P

oppup _{tilstand, vil underliggende være = 100 *1. 2 * 1. 2 = $ 144 som fører til P} oppup _{= null} Ved P

updn _{betingelse, vil underliggende være = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 som fører til P} updn _{= $ 8} Ved P

dndn _{betingelse, vil underliggende være = 100 * 0. 85 * 0. 85 = $ 72. 25 som fører til P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0 35802832 * 0 + (1-0. 35802832) * 8) = 5. 008970741} Tilsvarende p

3 > = 0. 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26. 42958924 _{Og dermed verdien av puteringsalternativet, p} 1

= 0. 975309912 * (0 35802832 * 5, 008970741+ (1-0, 35802832) * 26. 42958924) = _{$ 18. 29.} På samme måte tillater binomialmodeller at man skal bryte hele opsjonsvarigheten til ytterligere raffinert flere trinn / nivåer. Ved hjelp av dataprogrammer eller regneark kan man arbeide bakover ett steg om gangen for å få nåverdien av det ønskede alternativet. La oss konkludere med et nytt eksempel med tre trinn for binomial opsjonsvurdering:

Anta et puteringsalternativ av europeisk type, med 9 måneder til utløp med strykpris på $ 12 og nåværende underliggende pris på $ 10. Anta risikofri rente på 5% for alle perioder. Anta hver 3 måneder, den underliggende prisen kan flytte 20% opp eller ned, noe som gir oss u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 og 3 trinn binomialtre.

Tallene i rødt indikerer underliggende priser, mens de i blå indikerer utbetalingen av salgsopsjon.

Risiko-nøytral sannsynlighet q beregner til 0. 531446.

Beregnes de ovennevnte verdien av q og utbetalingsverdiene ved t = 9 måneder, blir de tilsvarende verdiene ved t = 6 måneder beregnet som:

Videre, ved å bruke disse Beregnede verdier ved t = 6, verdier ved t = 3 og deretter ved t = 0 er:

gir dagens verdi av put-opsjon som $ 2. 18, som er ganske nær den som beregnes ved hjelp av Black-Scholes-modellen ($ 2. 3).

The Bottom Line

Selv om bruk av dataprogrammer kan gjøre mange av disse intensive beregningene enkle, er prediksjonen av fremtidige priser fortsatt en stor begrensning av binomialmodeller for opsjonsprising. Jo finere tidsintervaller, desto vanskeligere blir det å presisere forutsigbar utbetalingen på slutten av hver periode. Imidlertid er fleksibiliteten til å inkorporere endringer som forventet på forskjellige tidspunkter, et ekstra pluss, noe som gjør det egnet til prising av de amerikanske opsjonene, inkludert tidlig opplæringsvurdering. Verdiene som beregnes ved hjelp av binomialmodellen, stemmer nøye overens med de som beregnes fra andre vanlige modeller som Black-Scholes, som indikerer bruken og nøyaktigheten av binomialmodeller for alternativprising. Binomial prismodeller kan utvikles i henhold til en traderes preferanse og fungerer som et alternativ til Black-Scholes.