En av de vanligste måtene å estimere risiko er bruk av en Monte Carlo-simulering (MCS). For eksempel, for å beregne verdien på risiko (VaR) i en portefølje, kan vi kjøre en Monte Carlo-simulering som forsøker å forutsi det verste sannsynlige tapet for en portefølje gitt et konfidensintervall over en spesifisert tidshorisont - vi må alltid spesifisere to forhold for VaR: selvtillit og horisont. (For relatert lesing, se Bruk og grenser for volatilitet og Introduksjon til Value at Risk (VAR) - Del 1 og Del 2 .)

I denne artikkelen vil vi se gjennom en grunnleggende MCS anvendt til en aksjekurs. Vi trenger en modell for å spesifisere oppførselen til aksjekursen, og vi skal bruke en av de vanligste modellene i økonomi: geometrisk brunisk bevegelse (GBM). Derfor, mens Monte Carlo-simulering kan referere til et univers av forskjellige tilnærminger til simulering, starter vi her med de mest grunnleggende.

Hvor skal jeg starte? En Monte Carlo-simulering er et forsøk på å forutsi fremtiden mange ganger over. På slutten av simuleringen produserer tusenvis eller millioner av "tilfeldige forsøk" en fordeling av utfall som kan analyseres. Grunnleggende trinnene er:

en. Angi en modell (f.eks. Geometrisk brunisk bevegelse)
2. Generer tilfeldige forsøk
3. Behandle utgangen

1. Angi en modell (f.eks. GBM)
I denne artikkelen vil vi bruke den geometriske Brownian Motion (GBM), som teknisk sett er en Markov-prosess. Dette betyr at aksjekursen følger en tilfeldig tur og er i samsvar med (i det minste) den svake formen for den effektive markedshypotesen (EMH): Tidligere prisinformasjon er allerede innarbeidet, og den neste prisbevegelsen er "betingelsesmessig uavhengig" av fortiden prisbevegelser. (For mer om EMH, les Arbeid gjennom den effektive markedshypotesen og Hva er markedseffektivitet? )

Formelen for GBM er funnet under, hvor "S" er aksjekursen, "m" (den greske mu) er forventet retur, "s" (gresk sigma) er standardavviket av retur, "t" er tid og "e" (gresk epsilon) er tilfeldig variabel:

Hvis vi omarrangerer formelen for å løse bare for endringen i aksjekursen, ser vi at GMB sier endringen i aksjekurs er aksjekursen "S" multiplisert med de to begrepene som finnes i parentesen nedenfor:

Første termen er en "drift" og den andre termen er et "sjokk". For hver tidsperiode antar modellen at prisen vil "drive" opp med forventet avkastning. Men driften vil bli sjokkert (tilsatt eller subtraheres) ved et tilfeldig støt. Den tilfeldige støt vil være standardavviket "s" multiplisert med et tilfeldig tall "e". Dette er bare en måte å skalere standardavviket på.

Det er essensen av GBM, som illustrert i Figur 1. Aksjekursen følger en rekke trinn, hvor hvert trinn er en drift pluss / minus et tilfeldig støt (i seg selv en funksjon av aksjens standardavvik): > Figur 1

2.Generer tilfeldige forsøk

Bevæpnet med en modellspesifikasjon, fortsetter vi til å kjøre tilfeldige forsøk. For å illustrere har vi brukt Microsoft Excel til å kjøre 40 forsøk. Husk at dette er en urealistisk liten prøve; de fleste simuleringer eller "sims" kjører minst flere tusen studier. I dette tilfellet, anta at aksjen begynner på dag null med en pris på $ 10. Her er et diagram over resultatet hvor hver gangs trinn (eller intervall) er en dag og serien går i ti dager (i sammendrag: førti forsøk med daglige trinn over ti dager):

Figur 2: Geometrisk Brownian Motion > Resultatet er førti simulerte aksjekurser på slutten av 10 dager. Ingen har skjedd å falle under $ 9, og en er over $ 11.

3. Behandle utgangen

Simuleringen ga en fordeling av hypotetiske fremtidige resultater. Vi kunne gjøre flere ting med utgangen. Hvis vi for eksempel vil estimere VaR med 95% konfidens, må vi bare finne det trettende åttende rangerte resultatet (det tredje verste resultatet). Det er fordi 2/40 er 5%, så de to verste resultatene er i de laveste 5%.

Hvis vi stabler de viste resultatene i skuffene (hver bin er en tredjedel av $ 1, så tre bokser dekker intervallet fra $ 9 til $ 10), får vi følgende histogram: Figur 3

Husk at vår GBM-modell tar utgangspunkt i normalitet: Prisavkastningen fordeles normalt med forventet avkastning (gjennomsnitt) "m" og standardavvik "s". Interessant er vårt histogram ikke ser normalt ut. Faktisk, med flere forsøk, vil det ikke ha tendens til normalitet. I stedet vil det ha en tendens til en lognormal fordeling: en skarp avgang til venstre for middels og en høyt skjev "lang hale" til høyre for midlet. Dette fører ofte til en potensielt forvirrende dynamikk for førstegangsstudenter:

Pris

retur

• distribueres normalt. Pris nivåer
• er logg-normalt distribuert. Tenk på det slik: En aksje kan returnere opp eller ned 5% eller 10%, men etter en viss tidsperiode kan aksjekursen ikke være negativ. Videre har prisøkninger på oppsiden en sammenblandende effekt, mens prisreduksjonene på downside reduserer basen: tap 10%, og du blir igjen med mindre for å miste neste gang. Her er et diagram over den lognormale fordeling som legges til grunn på våre illustrerte antagelser (f.eks. Startpris på $ 10): Figur 4

Sammendrag

En Monte Carlo-simulering gjelder en valgt modell (en modell som angir oppførselen til en instrument) til et stort sett av tilfeldige forsøk i et forsøk på å produsere et plausibelt sett med mulige fremtidige resultater. Når det gjelder å simulere aksjekurser, er den vanligste modellen geometrisk brunisk bevegelse (GBM). GBM antar at en konstant drift er ledsaget av tilfeldige støt. Mens periodene som returneres under GBM, distribueres normalt, blir de etterfølgende multi-periode (for eksempel ti dager) prisnivåer lognormalt fordelt.

Se på David Harpers filmopplæring, Monte Carlo Simulering med Geometrisk Brownian Motion

, for å lære mer om dette emnet.