På et tidspunkt i livet ditt, kan det hende du må måtte foreta en rekke faste betalinger over en periode - for eksempel leie- eller bilbetalinger - eller har mottatt en rekke betalinger over en periode av tid, for eksempel obligasjonskuponger. Disse kalles livrenter. Hvis du forstår tidsverdien av penger, er du klar til å lære om livrenter og hvordan deres nåværende og fremtidige verdier beregnes.

Hva er livrenter?

Annuiteter er i hovedsak en serie faste betalinger som kreves fra deg, eller betales til deg, med en bestemt frekvens i løpet av en fast tidsperiode. De vanligste betalingsfrekvensene er årlige, halvårlig (to ganger i året), kvartalsvis og månedlig. Det er to grunnleggende typer livrente: ordinære livrenter og annuiteter på grunn.

• Vanlig livrente: Betalinger kreves ved slutten av hver periode. For eksempel betaler reelle obligasjoner vanligvis kupongbetalinger ved slutten av hver sjette måned frem til obligasjonens forfallstidspunkt.
• Annuitet på grunn: Betalinger kreves ved begynnelsen av hver periode. Leie er et eksempel på livrente på grunn. Du er vanligvis pålagt å betale leie når du først går inn i begynnelsen av måneden, og deretter på den første av hver måned etterpå.

Siden nåværende og fremtidige verdier beregninger for ordinære livrenter - og forfall på annuiteter er litt annerledes - vil vi først diskutere nåværende og fremtidige verdiberegning for ordinære livrenter.

Beregning av fremtidig verdi av en ordinær livrente

Hvis du vet hvor mye du kan investere per periode i en viss tidsperiode, er fremtidig verdi (FV) av en vanlig annuitetsformel nyttig for å finne ut hvor mye du ville har i fremtiden ved å investere til din givne rente. Hvis du foretar betalinger på et lån, er fremtidig verdi nyttig for å bestemme den totale kostnaden av lånet.

La oss nå løse gjennom eksempel 1. Vurder følgende livrente for kontantstrøm:

For å beregne fremtidig verdi på livrenten må vi beregne fremtidig verdi av hver kontantstrøm. La oss anta at du mottar $ 1 000 hvert år de neste fem årene, og du investerte hver betaling på 5%. Følgende diagram viser hvor mye du vil ha ved slutten av femårsperioden:

Siden vi må legge til fremtidig verdi for hver betaling, har du kanskje lagt merke til at hvis du har en ordinær livrente med mange kontantstrømmer, det vil ta lang tid å beregne alle fremtidige verdier og deretter legge dem sammen. Heldigvis gir matematikk en formel som fungerer som en snarvei for å finne den akkumulerte verdien av alle kontantstrømmer mottatt fra en ordinær livrente:

hvor C = kontantstrøm per periode i = rente n = antall betalinger

Ved hjelp av formelen ovenfor for eksempel 1 ovenfor, er dette resultatet:

= $ 1000 * [5.53] = $ 5525. 63

Merk at den 1 prosentforskjellen mellom $ 5, 525, 64 og $ 5, 525. 63 skyldes en avrundingsfeil i den første beregningen. Hver verdi av den første beregningen må avrundes til nærmeste krone - jo mer du må runde tall i en beregning, desto mer sannsynlige avrundingsfeil vil oppstå. Så, formelen ovenfor gir ikke bare en snarvei til å finne FV på en vanlig livrente, men gir også et mer nøyaktig resultat.

Beregning av nåverdien av en ordinær livrente

Hvis du vil avgjøre dagens verdi av en fremtidig betalingsserie, må du bruke formelen som beregner nåverdien (PV) av en ordinær livrente. Dette er formelen du vil bruke som en del av en obligasjonsprisberegning. PV av en vanlig livrente beregner nåverdien av kupongbetalinger som du vil motta i fremtiden.

For eksempel 2 bruker vi den samme livrente kontantstrømmen som vi gjorde i eksempel 1. For å oppnå totalverdierte verdier, må vi ta nåverdien av hver fremtidig betaling, og som vi gjorde i eksempel 1 , legg til kontantstrømmene sammen.

Igjen, beregning og tillegg av alle disse verdiene vil ta betydelig tid, spesielt hvis vi forventer mange fremtidige betalinger. Som sådan kan vi bruke en matematisk snarvei til PV av en vanlig livrente.

hvor C = kontantstrøm per periode i = rente n = antall betalinger

Formelen gir oss PV i noen få enkle trinn. Her er beregningen av livrente representert i diagrammet for eksempel 2:

= $ 1000 * [4. 33] = $ 4329. 48

Beregning av fremtidig verdi av en livrente på grunn av

Når du mottar eller betaler kontantstrømmer for en annuitet, vil din kontantstrømoppgave vises som følger:

Siden hver betaling i serien er gjort en periode før, må vi redusere formelen en periode tilbake. En liten endring av FV-of-a-ordinary-annuity-formelen står for utbetalinger som oppstår ved begynnelsen av hver periode. I eksempel 3, la oss illustrere hvorfor denne modifikasjonen er nødvendig når hver $ 1 000-betaling gjøres i begynnelsen av perioden i stedet for på slutten (renten er fortsatt 5%):

Legg merke til at når betalinger gjøres på Ved begynnelsen av perioden holdes hvert beløp lengre ved utgangen av perioden. For eksempel, hvis $ 1 000 ble investert 1. januar frem til 31. desember hvert år, ville den siste betalingen før vi verdsatt investeringen ved utgangen av fem år (31. desember) vært gjort et år tidligere (1. januar) heller enn den samme dagen som det er verdsatt. Den fremtidige verdien av livrenteformel ville da lese:

hvor C = kontantstrøm per periode i = rente n = antall betalinger

derfor

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = $ 5801. 91

Beregning av nåverdien av en livrente på grunn av

For nåverdien av en annuitets grunnformel, må vi redusere formelen en periode fremover da betalingene holdes i kortere tid. Ved beregning av nåverdien antar vi at den første betalingen ble gjort i dag.

Vi kan bruke denne formelen til å beregne nåverdien av fremtidige leieutbetalinger som angitt i en leieavtale du signerer med utleier. La oss si for eksempel 4 at du foretar din første leiebetaling i begynnelsen av måneden og vurderer nåverdien av din fem måneders leieavtale den samme dagen. Din nåværende verdi beregning ville fungere som følger:

Selvfølgelig kan vi bruke en formel snarvei til å beregne nåverdien av en annuitet grunn:

hvor C = kontantstrøm per periode i = rente > n = antall betalinger Derfor

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= $ 4545. 95 Husk at nåverdien av en ordinær livrente returnerte en verdi på $ 4, 329. 48. Nåverdien av en ordinær livrente er mindre enn den for en livrente på grunn av at ytterligere tilbake vi rabatter en fremtidig betaling, jo lavere Nåværende verdi - hver betaling eller kontantstrøm i en ordinær livrente oppstår en periode lenger inn i fremtiden.

Bunnlinjen

Nå kan du se hvordan livrenter påvirker hvordan du beregner nåtidens og fremtidens verdi av noe beløp. Husk at betalingsfrekvensene, antall betalinger og tidspunktet for disse utbetalingene (enten i begynnelsen eller slutten av hver betalingsperiode) er alle variabler du må regne med i beregningene dine.