Distribusjonen av normal (Bell Curve)

Datasett (som høyde på 100 mennesker, karakterer oppnådd av 45 elev i en klasse osv.) Har en tendens til å ha mange verdier på samme datapunkt eller innenfor samme område. Denne fordelingen av datapunkter kalles normal eller bellkurvefordeling. For eksempel kan i en gruppe på 100 personer 10 være under 5 meter høye, 65 kan ligge mellom 5 og 5,5 fot og 25 kan være over 5,5 fot. Denne rekkeviddebundne distribusjonen kan plottes som følger:

Tilsvarende kan datapunkter plottet i grafer for et gitt datasett ligner ulike typer distribusjoner. Tre av de vanligste er venstrejustert, rettjustert og jumbled-fordelinger:

Merk den røde trendlinjen i hver av disse grafene. Dette indikerer grovt datadistribusjonsutviklingen. Den første, "LEFT Aligned Distribution", indikerer at et flertall av datapunktene faller i det nedre området. I andre "RIGHT Aligned Distribution" -grafen faller hovedparten av datapunktene i den øvre enden av intervallet, mens den siste "Jumbled Distribution" representerer et blandet datasett uten en klar trend.

Det er mange tilfeller hvor fordelingen av datapunkter pleier å være rundt en sentral verdi, og at grafen viser en perfekt normalfordeling, like balansert på begge sider med det høyeste antall datapunkter konsentrert i sentrum.

Her er et perfekt, normalt distribuert datasett.

Den sentrale verdien her er 50, som har flest datapunkter, og fordelingen avtar jevnt til ekstreme sluttverdier på 0 og 100, som har det minste antall datapunkter. Den normale fordeling er symmetrisk rundt den sentrale verdien med halv verdi på hver side.

Mange eksempler på ektefelle passer til bellkurvefordelingen:

• Kaste en mykt mynt mange ganger (si 100 ganger eller mer), og du vil få balansert normal fordeling av hoder og haler.
• Rull et par rettferdige terninger mange ganger (si 100 ganger eller mer), og resultatet vil være en balansert, normal fordeling sentrert rundt nummer 7 og jevnt tapende mot ekstreme endverdier på 2 og 12.
• The høyden av individer i en gruppe av betydelig størrelse og karakterer oppnådd av personer i en klasse følger begge normale distribusjonsmønstre.
• I finans, antas endringer i loggverdieneav valutakurser, prisindekser og aksjekurser normalt å bli distribuert.

Forholdet til finansiering og investeringer

Enhver investering har to aspekter: risiko og avkastning. Investorer ser etter lavest mulig risiko for høyest mulig avkastning. Den normale fordeling kvantifiserer disse to aspektene med gjennomsnittet for avkastning og standardavvik for risiko.(For mer, se: Mean-Variance Analysis .)

Gjennomsnittlig eller Forventet verdi

En bestemt aksjes prisendringsendring kan være 1,5% daglig - noe som betyr at det i gjennomsnitt øker med 1,5%. Denne gjennomsnittlige verdien eller forventede verdiindikerende avkastning kan oppnås ved å beregne gjennomsnittet på et stort nok datasett som inneholder historiske daglige prisendringer på den aktuelle aksjen. Jo høyere gjennomsnitt, desto bedre.

Standardavvik

Standardavvik indikerer hvor mye verdier avviger i gjennomsnitt fra gjennomsnittet. Jo høyere standardavviket, desto mer risikofylt investeringen, da det fører til mer usikkerhet.

Her er en grafisk fremstilling av det samme:

Derfor representerer den grafiske representasjonen av normalfordeling gjennom dens gjennomsnittlige og standardavvikelse representasjon av både avkastning og risiko innenfor et klart definert område.

Det hjelper å vite (og være sikker på at det er sikkert) at hvis et datasett følger det normale distribusjonsmønsteret, vil dets gjennomsnitt gjøre det mulig for oss å vite hva som kommer tilbake, og standardavviket gjør oss i stand til å vite at rundt 68% av Verdiene vil ligge innenfor 1 standardavvik, 95% innen 2 standardavvik og 99% av verdiene faller innenfor 3 standardavvik. Et datasett som har en verdi på 1, 5 og standardavviket til 1, er mye risikere enn et annet datasett med gjennomsnitt på 1, 5 og standardavvik på 0. 1.

Å vite disse verdiene for hver valgt ressurs (dvs. aksjer, obligasjoner og midler) vil gjøre investoren oppmerksom på forventet avkastning og risiko.

Det er enkelt å bruke dette konseptet og representerer risikoen og avkastningen på en enkelt aksje, obligasjon eller fond, men kan dette bli utvidet til en portefølje av flere eiendeler?

Enkeltpersoner begynner å handle ved å kjøpe en enkelt aksje eller obligasjon, eller investere i et fond. Gradvis har de en tendens til å øke sine beholdninger og kjøpe flere aksjer, midler eller andre eiendeler, og derved opprette en portefølje. I dette inkrementelle scenariet bygger enkeltpersoner sine porteføljer uten en strategi eller mye forethought. Profesjonelle fondsledere, handelsmenn og markedsførere følger en systematisk metode for å bygge sin portefølje ved hjelp av en matematisk tilnærming kalt moderne portefølje teori (MPT) som er basert på begrepet "normal distribusjon. "

Moderne portefølje teori

Moderne porteføljeorientering gir en systematisk matematisk tilnærming som tar sikte på å maksimere porteføljens forventede avkastning for en gitt porteføljerisiko ved å velge proporsjoner av ulike eiendeler. Alternativt tilbyr det også å minimere risikoen for et gitt nivå av forventet avkastning.

For å oppnå dette målet bør eiendelene som inngår i porteføljen ikke velges utelukkende basert på egen individuell fortjeneste, men i stedet hvordan hver eiendel skal utføre i forhold til de øvrige eiendelene i porteføljen.

I et nøtteskall definerer MPT hvordan man best oppnår porteføljediversifisering for best mulig resultat: Maksimal avkastning for et akseptabelt risikonivå eller minimal risiko for ønsket avkastningsnivå.

Building Blocks

MPT var et så revolusjonerende konsept da det ble innført at oppfinnerne vant en nobelpris. Denne teorien ga med suksess en matematisk formel for å lede diversifiseringen i å investere.

Diversifisering er en risikostyringsteknikk som fjerner risikoen for "alle egg i en kurv" ved å investere i ikke-korrelerte aksjer, sektorer eller aktivaklasser. Ideelt sett vil positiv ytelse av en eiendel i porteføljen avbryte den negative ytelsen til andre eiendeler.

For å ta den gjennomsnittlige avkastningen på porteføljen som har n forskjellige eiendeler, beregnes den proporsjonveide kombinasjonen av verdien av de bestandige eiendelene. På grunn av arten av statistiske beregninger og normal fordeling beregnes den samlede porteføljevirksomheten (R p _{) som:} summen (Σ) hvor w

i _{er forholdsmessig vekt av eiendel jeg i porteføljen, R} i _{er avkastningen (gjennomsnittet) av eiendelen i.} Porteføljerisikoen (eller standardavviket) er en funksjon av korrelasjonene til de medfølgende eiendelene, for alle aktivparene (med respekt for hverandre i paret). På grunn av arten av statistiske beregninger og normal fordeling beregnes den samlede porteføljens risiko (Std-dev)

p _som: hvor korrelasjon er korrelasjonskoeffisienten mellom avkastning av eiendeler i og j, og sqrt er kvadratroten.

Dette tar vare på den relative ytelsen til hver eiendel i forhold til den andre.

Selv om det vises matematisk komplisert, inneholder det enkle konseptet som brukes her ikke bare standardavvikene til de enkelte eiendelene, men også de relaterte i forhold til hverandre.

Et godt eksempel er tilgjengelig her fra University of Washington.

Et hurtigeksempel

Som et tankeeksperiment, la oss forestille oss at vi er en porteføljeforvalter som har fått kapital og har oppgaven hvor mye kapital som skal tildeles to tilgjengelige eiendeler (A & B), slik at forventet retur er maksimalt og risikoen er lavest.

Vi har også følgende verdier tilgjengelig:

R

a _{= 0. 175} R

b _{= 0. 055} (Std-dev) < a

= 0. 258 _(Std-dev) b

= 0. 115 _(Std-dev) ab

= -0. 004875 _(Cor-cof) ab

= -0. 164 _{Beregner til samme verdi på 50-50 til hver enkelt A & B-verdi, R} p

til 0. 115 og (Std-dev) _p kommer til 0. 1323 . En enkel sammenligning forteller oss at for denne 2 porteføljeporteføljen er både avkastning og risiko midtveis mellom individuelle verdier for hver eiendel. _{Vårt mål er imidlertid å forbedre avkastningen på porteføljen utover bare gjennomsnittet av hver enkelt eiendel og redusere risikoen slik at den er lavere enn for de enkelte eiendelene.} La oss nå ta en 1. 5 kapitalfordelingsposisjon i eiendel A, og a -0. 5 Kapitalfordelingsposisjon i eiendel B. (Negativ kapitalallokering betyr at kort og aksjekapital som mottas i brukes til å kjøpe overskudd av annet aktiv med positiv kapitalallokering. Med andre ord forkortes aksje B for 0.5 ganger med kapital og bruke disse pengene til å kjøpe aksje A for beløp 1. 5 ganger kapital.)

Ved å bruke disse verdiene får vi R p

som 0. 1604 og (Std-dev) < p

som 0. 4005. _{På samme måte kan vi fortsette å bruke forskjellige tildelingsvekter til A & B, og komme til forskjellige sett med Rp og (Std-dev) p. I henhold til ønsket avkastning (Rp) kan man velge det beste akseptable risikonivået (std-dev) s. Alternativt, for et ønsket risikonivå, kan man velge den beste tilgjengelige porteføljevirksomheten. Uansett, gjennom denne matematiske modellen Portfolio Theory, er det mulig å oppfylle målet om å skape en effektiv portefølje med ønsket risiko og returkombinasjon.} Bruken av automatiserte verktøy gjør det enkelt å enkelt og smidig oppdage de best tilgjengelige fordelte proporsjonene, uten behov for lange manuelle beregninger. _{Den effektive grensen, Capital Asset Pricing Model (CAPM) og eiendomsprising ved hjelp av MPT, utvikler seg også fra samme normale distribusjonsmodell og er en utvidelse til MPT.} Utfordringene til MPT (og underliggende Normalfordeling):

Dessverre er ingen matematisk modell perfekt og hver har mangler og begrensninger.

Den grunnleggende forutsetningen om at aksjekursavkastningen følger normal distribusjon selv, blir stilt spørsmål om og om igjen. Det er tilstrekkelig empirisk bevis på tilfeller hvor verdier ikke overholder den antatte normale fordeling. Basere komplekse modeller på slike forutsetninger kan føre til resultater med store avvik.

Går videre til MPT, kan beregningene og antakelsene om korrelasjonskoeffisient og kovarians som er gjenværende faste (basert på historiske data), ikke nødvendigvis holde fast i fremtidige forventede verdier. For eksempel viste obligasjons- og aksjemarkedene perfekt korrelasjon i det britiske markedet i 2001 til 2004, hvor avkastningen fra begge eiendelene gikk ned samtidig. I realiteten er reversen observert over lange historiske perioder før 2001.

Investoradferd er ikke tatt i betraktning i denne matematiske modellen. Skatt og transaksjonskostnader blir neglisjert, selv om bruttoallokering og mulighet for kortsiktige eiendeler antas.

I virkeligheten kan ingen av disse antagelsene være oppfylt, noe som betyr at realisert finansiell avkastning kan avvike vesentlig fra forventet fortjeneste.

Bunnlinjen:

Matematiske modeller gir en god mekanisme for å kvantifisere noen variabler med enkle sporbare tall. Men på grunn av begrensninger av antagelser kan modeller mislykkes. Normal Distribusjon, som danner grunnlaget for portefølje teori, kan ikke nødvendigvis gjelde for aksjer og andre finansielle eiendomsprisemønstre. Portefølje teori har i seg selv mange antagelser som bør vurderes kritisk, før man tar viktige økonomiske beslutninger.